¿Cómo calcular trayectorias planetarias?

Órbitas planetarias paso a paso

La anomalía verdadera ($\nu$) es el ángulo que describe la posición de un planeta en su órbita elíptica. Se mide desde el perihelio (el punto más cercano al Sol) hasta la posición actual del planeta, con el Sol en uno de los focos de la elipse. La anomalía verdadera nos indica dónde está el planeta en su órbita en un instante dado y nos permite trazar su trayectoria.

1. Conceptos básicos de una órbita elíptica

Una órbita planetaria es una elipse caracterizada principalmente por dos parámetros:

• a: el semieje mayor
• e: la excentricidad (qué tan “aplanada” es la elipse)

El Sol no se encuentra en el centro de la elipse, sino en uno de sus focos.

2. Distancia al Sol en función de la anomalía verdadera

La distancia entre el planeta y el Sol se expresa como:

\[r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos(\nu)}\]

donde:

• $r(\nu)$ es la distancia del planeta al Sol,
• $e$ es la excentricidad de la órbita,
• $a$ es el semieje mayor,
• $\nu$ es la anomalía verdadera.

3. Cómo trazar la órbita

Para graficar la trayectoria de un planeta:

1. Define los parámetros orbitales: elige valores de $a$ y $e$.
2. Genera un conjunto de ángulos: toma valores de $\nu$ entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
3. Calcula $r(\nu)$ para cada valor de $\nu$.
4. Convierte a coordenadas cartesianas:
   \(x = r(\nu) \cos(\nu)\)
   \(y = r(\nu) \sin(\nu)\)
5. Dibuja los puntos $(x, y)$ para obtener la elipse con el Sol en uno de los focos.

4. Simulación paso a paso de las posiciones orbitales

En lugar de calcular todas las posiciones de golpe, es posible simular el movimiento del planeta avanzando en pequeños incrementos angulares.

1. Definir el paso angular:
   Un cuerpo recorre $2\pi$ radianes en un período orbital completo. El incremento por unidad de tiempo (por ejemplo, meses) se obtiene como:
   \(\Delta \Psi = \frac{2\pi}{T}\)
   donde $T$ es el período orbital en días, meses o años.

2. Avanzar en el tiempo:
   Partiendo de un ángulo inicial, en cada iteración se suma el incremento \(\Psi_{n+1} = \Psi_{n} + \Delta \Psi\).

   Esto genera una secuencia de anomalías medias $M$, que luego se transforman en anomalía verdadera mediante:
   \(\nu = 2 \arctan\!\left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \; \tan\!\left(\frac{M}{2}\right) \right)\)

3. Calcular la posición:
   Con $\nu$ se obtiene la distancia radial al Sol:
   \(r = \frac{a (1-e^2)}{1 + e \cos \nu}\)
   y, a partir de ella, las coordenadas cartesianas:
   \(x = r \cos \nu, \quad y = r \sin \nu\)

De esta manera, paso a paso se van construyendo las trayectorias orbitales, lo que permite comparar distintos cuerpos (por ejemplo, la Tierra y un meteoroide) y detectar cuándo sus posiciones se acercan lo suficiente para predecir un posible encuentro.

5. Visualización y casos particulares

• Si $e = 0$ → la órbita es un círculo.
• Si $0 < e < 1$ → la órbita es una elipse.
• El planeta se mueve más rápido cerca del perihelio y más lento en el afelio, siguiendo la segunda ley de Kepler.